1.f. Estudio de las propiedades y de las magnitudes de las figuras en el plano o en el espacio.1.
¿Cuál es el significado de la palabra geometría?
INTRODUCCIÓN La Geometría (del griego geo, ‘tierra’; metrein, ‘medir’) es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. La geometría euclídea representa la base de la geometría que, en nuestra opinión, debe ser contemplada en una educación obligatoria de carácter elemental. Imagen de Euclides Pueden consultarse los “Elementos” de Euclides en http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Euclides/euclides.htm http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html http://thales.vismath.org/euclid/ Otros desarrollos posteriores de la geometría, más apropiados para niveles educativos más elevados son: la geometría analítica, la geometría diferencial,la geometría descriptiva, la geometría proyectiva, la geometría topológica, etc.
- El saber geométrico es el conocimiento de las propiedades del espacio geométrico.
- Desde el punto de vista educativo es importante diferenciarlo del conocimiento de las propiedades del espacio físico.
- El espacio geométrico se constituye como una modelización del espacio físico; nos permite comprender o prever ciertos fenómenos del espacio físico, pero no coincide con él.
Las figuras que manejamos en geometría no existen en la realidad, son idealizaciones de objetos de la realidad material. No existe, por ejemplo, la línea recta ideal, pues cualquier línea recta material mirada al microscopio resultaría curva; no existe el punto ideal, carente de dimensiones; no existe la superficie ideal, carente de grosor,
Aunque las figuras ideales no existen, se pueden estudiar con ayuda de sus representaciones materiales. Desde los griegos, la regla y el compás contribuyeron a materializar las ideas geométricas. Las construcciones que se realizan con estos instrumentos ayudan a comprender mejor las propiedades geométricas.
Pero la validación de los teoremas geométricos no se hace recurriendo al dibujo, sino de forma lógica, mediante razonamientos lógicos. Los dibujos ayudan a establecer relaciones lógicas entre las figuras. No sustituyen, sino que auxilian, al razonamiento lógico.
La geometría, a partir de la antigua geometría griega, se ha desarrollado como un sistema deductivo, construído a partir de axiomas, cuya validez se obtiene por procedimientos lógicos. DESARROLLO HISTÓRICO DE LA GEOMETRÍA. ALGUNAS IDEAS (Puedes consultar una historia general de las matemáticas en http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Frame1.html ) La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas.
Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza. El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras.
Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras. Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, encontrando, por ejemplo, para el área del círculo de radio unidad un valor aproximado de 3’1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales.
También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos. También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo, volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.
No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las culturas china e india, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. También hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso que desarrollaron algunas ideas sobre la demostración de este teorema.
En los matemáticos de la cultura helénica los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de “logística”.
A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc.
Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números “pitagóricos”, esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.
En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo, la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).
Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a la aparición de los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita.
- Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás.
- La historia sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes.
Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides. Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas.
- El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas.
- Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos se denominaban “Elementos”.
Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras la obra matematica más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. “Los Elementos”, como denominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas.
A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides. En “Los Elementos” de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, por la controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado “el de las paralelas”, según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca.
Durante siglos se asumió este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas geometrías no euclídeas, que rebatieron este postulado. Con posterioridad a Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse.
Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga.
En la época del dominio romano destacan algunos recetarios en forma de reglas que permitían el cálculo de algunas áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo conocidos los tres lados. Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo científico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casi completamente.
Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó el desenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas, fundándose escuelas por todo el Imperio. Destacaremos como avance anecdótico, pero no por ello carente de valor, la obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos en la circinferencia realizada por Kashi (s.
XV). Después de más de 150 años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el cálculo de Kashi. El rasgo característico más importante de las matemáticas árabes fue la formación de la trigonometría.
En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tanto en trigonometría plana como esférica. Entre las obras geométricas destacan las de Omar Khayyam (s. XVI) y Nasir Edin (s. XIII), directamente influenciadas por las obras clásicas, pero a las que contribuyeron con distintas generalizaciones y estudios críticos, como los relativos al axioma euclideano del paralelismo, que pueden considerarse como estudios precursores de la geometría no euclideana.
En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época del medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento. Podemos considerar la obra de Fibonacci “Practica Geometriae” como el punto de arranque de la geometría renacentista.
- Esta obra está dedicada a resolver determinados problemas geométricos, especialmente medida de áreas de polígonos y volúmenes de cuerpos.
- El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) llegó a utilizar en una de sus obras coordenadas rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la representación gráfica de ciertos fenómenos físicos.
Ya en el siglo XV, época de las grandes navegaciones, la trigonometría fue separada de la astronomía, alzándose como ciencia independiente de la mano de Regiomontano (1436-1474), que trató de una manera sistemática todos los problemas sobre la determinación de triángulos planos y esféricos.
- Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica.
- Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos consecuentemente organizado, estableciendo en todo momento, una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos y algebraicos, de forma que de igual manera que se le considera el creador del álgebra lineal, se le podría considerar como uno de los padres del enfoque analítico de la trigonometría, esto es, la goniometría.
Para hacer más fáciles los cálculos, los matemáticos desarrollaron ciertos procedimientos en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relaciones trigonométricas, lo que llevó a la confección de numerosas tablas trigonométricas. En la elaboración de tablas trabajaron, por ejemplo, Copérnico (1473-1543) y Kepler (1571,1630).
Semejantes métodos se utilizaban tan frecuentemente que recibieron el nombre de “prostaferéticos”. Ellos fueron utilizados por los matemáticos de Oriente Medio, Viète, Tycho Brahe, Wittich, Bürgi y muchos otros. Estos métodos siguieron utilizándose incluso después de la invención de los logaritmos a comienzos del siglo XVII, aunque sus fundamentos, basados en la comparación entre progresiones aritméticas y geométricas, comenzaron a fraguarse mucho antes.
Durante el siglo XVII surgieron casi todas las disciplinas matemáticas, produciéndose en lo que a la geometría se refiere el nacimiento de la geometría analítica. Sin duda los dos grandes en esta materia y época fueron René Descartes (1596-1650) y Pierrede Fermat (1601-1655).
La última parte de la famosa obra de Descartes “Discurso del Método” denominada “Géometrie”, detalla en su comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones, llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo.
Prácticamente la totalidad de la Géometrie está dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría con ayuda del sistema de coordenadas. Simultáneamente con Descartes, Pierre de Fermat desarrolló un sistema análogo al de aquél. Las ideas de la geometría analítica, esto es, la introducción de coordenadas rectangulares y la aplicación a la geometría de los métodos algebraicos, se concentran en una pequeña obra: “introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales”.
Aquellos lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se denominaban planos y los representados por cónicas, especiales. Fermat abordó la tarea de reconstruir los “Lugares Planos” de Apolonio, describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental de la geometría analítica: “siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva”.
Utilizando la notación de Viète, representó en primer lugar la ecuación Dx=B, esto es, una recta. Posteriormente identificó las expresiones xy=k2; a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2; a2-x2=ky2 con la hipérbola, parábola circunferencia y elipse respectivamente.
Para el caso de ecuaciones cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de segundo grado, aplicó rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los términos anteriores. La extensión de la geometría analítica al estudio de los lugares geométricos espaciales, la realizó por la vía del estudio de la intersección de las superficies espaciales por planos.
Sin embargo, las coordenadas espaciales también en él están ausentes y la geometría analítica del espacio quedó sin culminar. En el siglo XVIII, además de la consolidación de la geometría analítica, surgieron la geometría diferencial, la geometría descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos sobre los fundamentos de la geometría.
Entre los diferentes problemas y métodos de la geometría, tuvieron gran significado las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal. De ellas surgió y se desarrolló la geometría diferencial, la ciencia que ocupó durante el siglo XVIII el lugar central en al sistema de las disciplinas geométricas.
A comienzos de siglo ya habían sido estudiados muchos fenómenos de las curvas planas por medio del análisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar las curvas espaciales y las superficies. Este traspaso de los métodos de la geometría bidimensional al caso tridimensional fue realizado por Clairaut.
Sin embargo, su obra fue eclipsada, como casi todo en esta época, por los trabajos de Euler. Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares.
En segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas, las formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud de la clasificación newtoniana.
También estudió las tangentes, problemas de curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y propiedades afines, intersección de curvas, composición de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas. Todo estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra “Introducción al análisis.” que Euler dedicó exclusivamente a la geometría analítica.
Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial, se culminó en los trabjos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto “Géometrie descriptive”.
En la obra se aclara, en primer lugar, el método y objeto de la geometría descriptiva, prosiguiendo a continuación, con instrucciones sobre planos tangentes y normales a superficies curvas. Analiza en capítulos posteriores la intersección de superficies curvas y la curvatura de líneas y superficies. El perfeccionamiento de carácter particular y la elaboración de diferentes métodos de proyección contituyeron el contenido fundamental de los trabjos sobre geometría proyectiva en lo sucesivo.
La idea del estudio de las propiedades proyectivas de los objetos geométricos, surgió como un nuevo enfoque que simplificara la teoría de las secciones cónicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema y sirven de base a la nueva geometría.
- La geometría hacia comienzos del siglo XIX representaba ya un amplio complejo de disciplinas surgidas del análisis y generalizaciones de los datos sobre las formas espaciales de los cuerpos.
- Junto a las partes elementales, se incluyeron en la geometría casi todas aquellas partes que la conforman actualmente.
La geometría analítica realizó un gran camino de desarrollo y determinó su lugar como parte de la geometría que estudia las figuras y transformaciones dadas por ecuaciones algebraicas con ayuda del método de coordenadas utilizando los métodos del álgebra.
La geometría diferencial se caracterizó por la utilización de los conceptos y métodos del cálculo diferencial, lo que conllevó relaciones estables con el análisis matemático y con numerosos problemas aplicados. Una de las características principales de la geometría que se desarrolló durante la segunda mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemáticos estudiaron una gran variedad de transformaciones.
De ellas, las que se hicieron más populares fueron las que constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominada geometría proyectiva. Los métodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde la época de Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantes respecto a la proyección, se conformaron en los años 20 del siglo XIX en una nueva rama de la geometría: la geometría proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J.
Poncelet. Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las geometrías no euclideanas. Podríamos considerar fundador de esta geometría al matemático ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856). Su obra mostraba que era necesario revisar los conceptos fundamentales que se admitían sobre la naturaleza de la matemática, pero ante el rechazo de sus contemporáneos tuvo que desarrollar sus ideas en solitario aislamiento.
El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometría no euclideana fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostración durante siglos. Lobachevski, que inicialmente intentó demostrar dicho axioma, rápidamente se dio cuenta que ello era imposible, sustituyendo dicho axioma por su negación: a través de un punto no contenido en una recta se puede trazar más de una paralela que yace en el mismo plano que la primera.
- El año 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometría no euclideana o lobachevskiana, siendo en ese año cuando el autor presentó muchos de los trabajos que avalaban la nueva teoría.
- En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) llegó a la misma conclusión a la que había llegado Lobachevski.
E incluso el mismo Gauss que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca de forma pública, los trabajos de Bolyai y Lobachevski, es posible que mantuviera los mismos puntos de vista pero los calló por temor a comprometer su reputación científica. La geometría no euclideana continuó siendo durante varias décadas un aspecto marginal de la matemática, hasta que se integró en ella completamente gracias a las concepciones extraordinariamente generales de Rieman.
¿Qué significa geometría en la Biblia?
Escultura basada en la Flor de la Vida y la geometría sagrada; sus partes están sobre la base de la sección áurea (Fi). Obra de Ibo Bonilla, La expresión geometría sagrada hace referencia al conjunto de formas y patrones geométricos que se encuentran presentes en la naturaleza y en el diseño de ciertos sitios considerados sagrados; principalmente iglesias, catedrales y mezquitas, junto con los significados simbólicos y esotéricos que se les atribuyen basándose en sus propiedades.
- Debido a su trasfondo religioso y filosófico, su énfasis en la geometría y la matemática y su relación con la construcción de catedrales, la geometría sagrada es asociada con la masonería,
- A su vez, es reivindicada y usada por algunos hermetistas y por muchos ocultistas con justificaciones y propósitos diversos.
Algunas personas que trabajan con la geometría sagrada afirman que estimula ambos hemisferios cerebrales a la vez; el derecho por estar relacionado con habilidades artísticas y viso-espaciales, y el izquierdo por estar relacionado con la matemática y la lógica, aunque cabe aclarar que esto se trata de una sobresimplificación de la actividad cerebral y la especialización de cada hemisferio,
¿Cuál es el objetivo de la geometría?
Objeto de estudio de la geometría – 
La geometría opera tanto en lo bidimensional como en lo tridimensional. La geometría se ocupa de las propiedades del espacio y en particular de las formas y figuras que lo habitan, ya sea bidimensional (plano) o tridimensionalmente (espacio), tales como los puntos, las rectas, los planos, los polígonos, los poliedros, etcétera.
¿Cuál es el origen de geometría?
Es bien conocido que el libro más publicado y divulgado a lo largo de la historia en el mundo occidental es la Biblia, Sin embargo, pocos sospechan que el segundo libro en este ranking es un libro de Matemáticas, escrito hace más de 2.000 años. Se titula los Elementos y fue escrito en torno al año 300 a.C.
por Euclides, un matemático y geómetra griego que vivió en la ciudad de Alejandría, en Egipto, y reconocido como el padre de la Geometría, Ciertamente, se sabe mucho más sobre la obra que sobre el autor, y hay hasta quien piensa que ni siquiera existió y que su obra fue escrita por un grupo de matemáticos que tomaron el nombre de Euclides del personaje histórico Euclides de Mégara, un filósofo griego discípulo de Sócrates que vivió unos 100 años antes.
No obstante, lo más probable es que Euclides viviera en Alejandría y que, como líder de un equipo formado por otros matemáticos, hubiera contribuido a compilar los trece volúmenes que componen los Elementos y que constituye un gran compendio de todo el conocimiento matemático de la época, que puede ser visto como una especie de enciclopedia de la avanzada Matemática griega.
- En los Elementos, los resultados matemáticos están presentados de una manera revolucionaria, de modo que cada uno de ellos está basado en otros resultados mucho más sencillos, dando lugar a largas cadenas de argumentos lógicos extremadamente convincentes.
- Dicha técnica, llamada el método axiomático, fue ya descrita por Aristóteles como una de las maneras de construir una teoría científica.
Euclides adaptó los conocimientos matemáticos de la época a esa forma de presentación, haciendo surgir un edificio conceptual que ya sirve desde hace milenios como ejemplo de la Ciencia bien hecha. Esa fue una de las razones del éxito de su obra, ya que hasta la fecha nadie había visto el método axiomático en acción de una forma tan sistemática.
Haciendo uso del método axiomático, Euclides fue capaz de presentar teoremas sofisticados y basar sus demostraciones en cadenas de resultados cada vez más sencillos con origen en unos pocos resultados suficientemente obvios que se toman como verdaderos sin discusión alguna, los llamados axiomas o postulados, que Euclides consiguió reducir únicamente a cinco.
Entre estos teoremas encontramos muchos de los que hoy se aprenden en la escuela, como el famoso teorema de Pitágoras, que afirma que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, y el no menos famoso resultado que establece que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre 180 grados.
¿Cuáles son Los Elementos básicos de la geometría?
Punto, línea y plano son los elementos geométricos básicos con los que podemos dibujar todas las figuras geométricas. Se denominan propios si pertenecen a un espacio finito e impropios si están en el infinito. Los límites de un cuerpo son las superficies, de las superficies las líneas y de las líneas los puntos,
¿Quién creó la geometría sagrada?
Geometría sagrada en la obra de Leonardo da Vinci
| Título | Geometría sagrada en la obra de Leonardo da Vinci |
|---|---|
| Palabras Clave | geometría, sagrada, leonardo, da vinci |
| Período | 2014- |
| Del Curso | Presentación 3º DG 2014, |
| Carreras | Diseño Gráfico |
¿Cuáles son los simbolos de la geometría sagrada?
Geometría Sagrada – Formas y Patrones de la Vida En la naturaleza, encontramos patrones, diseños y estructuras, desde las partículas más minúsculas hasta el gran cosmos. Etimológicamente geometría significa “medir la Tierra” (geo, “tierra”, metría, “medida”). 
Antiguamente no se conocían ni el álgebra ni la trigonometría. Ni tan sólo se conocían los decimales. La geometría permitía trazar las obras, era el único recurso que se disponía. El círculo, el cuadrado, el rectángulo y el triángulo son formas geométricas elementales.
Tradicionalmente se han considerado las formas sagradas. Los maestros constructores los utilizaban ya hace 7.000 años para ubicar los elementos arquitectónicos y construir muros, bóvedas o estructuras. Tradicionalmente, se considera que el círculo se asemeja a Dios y expresa la totalidad. En cambio, el cuadrado es terrenal, humano.
La arquitectura sagrada refleja entonces la estructura del cosmos. El elemento común en todas las civilizaciones ha sido la observación del sol. Si trazamos unas líneas en la dirección de las salidas y puestas de sol durante el solsticio de invierno y de verano, se obtiene el rectángulo solsticial. 
Este trazado está relacionado con la latitud del lugar y se encuentra en todas las civilizaciones. En Barcelona, podemos observarlo en la, Es un trazado cuya intención es unir las energías de la Tierra y las energías del Cosmos. Las antiguas civilizaciones percibían que esta geometría permitía equilibrar la energía del lugar, haciéndolo propicio para la vida y la evolución personal. 
Representa una manera de dividir armoniosamente un cuadrado. Se representa por la letra φ (phi) griega = 1,618 Se encuentra en todas las proporciones, al igual que las relaciones de los perímetros y las superficies. Este trazado regulador es tan perfecto (o sagrado) que se encuentra en lejanas culturas sin relación entre ellas: Roma, la América precolombina o Japón.
- Un ejemplo famoso es “El castillo”, en Chichén Itza.
- El mandala es un símbolo espiritual en el budismo y el hinduismo.
- El término mandala procede del sánscrito, una antigua lengua india, y significa «círculo».
- El círculo se considera una forma mágica, sin principio ni fin, al igual que se cree que el universo no tiene fin.
En su forma más básica, los mandalas son círculos contenidos en un cuadrado y dispuestos en secciones que se organizan en torno a un único punto central. Aunque son extraordinarios como obra de arte independiente, los mandalas tienen un significado simbólico y meditativo que va más allá de su vibrante apariencia. 
El centro es un punto, que es un símbolo considerado libre de dimensiones. Se interpreta como el punto de partida, el comienzo de la contemplación y la devoción a lo divino. A partir de ahí, el punto está rodeado de líneas y patrones geométricos que simbolizan el universo, englobado por el círculo exterior que representa la naturaleza cíclica de la vida.
Se cree que los mandalas representan diferentes aspectos del universo y se utilizan como instrumentos de meditación y símbolos de oración, sobre todo en China, Japón y el Tíbet. Se dice que la Flor de la Vida, uno de los símbolos más antiguos del mundo, representa el orden divino y matemático de la vida.
Formada por 19 círculos superpuestos de igual tamaño interconectados y espaciados uniformemente (con una simetría de seis pliegues como un hexágono). Se asemeja a un conjunto de flores igualmente proporcionadas. La composición no sólo es bella, sino que tiene profundos significados simbólicos para nuestra existencia, la vida en la Tierra y la formación del Universo. 
Leonardo Da Vinci estaba especialmente interesado en la forma y las proporciones matemáticas de la Flor de la Vida y su conexión con el espacio físico y la conciencia humana.Los historiadores creen que el famoso dibujo del Hombre de Vitruvio de da Vinci fue compuesto, al menos en parte, basándose en el símbolo de la Flor de la Vida.El símbolo se ha encontrado en el Templo de Osiris en Abydos (Egipto), en la Ciudad Prohibida de Pekín (China) y en muchos otros lugares sagrados de todo el mundo.
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¿Dónde se encuentra la geometría sagrada?
La geometría sagrada es un código fascinante, al que podemos acceder si nos detenemos a mirar cuidadosamente nuestro mundo. Nuestro mundo está poblado por códigos: manifestaciones de la comunicaciónentre toda clase de formas de vida y elementos. Y tal vez el código más fascinante es la geometría sagrada ; sin duda uno de los lenguajes más difíciles de descifrar, pero que, a través de la simple observación, nos ofrece pistas sobre la configuración del cosmos y de la información que, discretamente, se transfieren entre sí toda clase de entidades, orgánicas e inorgánicas.
- ¿Qué es la geometría sagrada? La pura noción de “geometría” resguarda un componente sagrado.
- Se trata de la disciplina que mide la tierra ; y, aunque coloquialmente la relacionamos con figuras abstractas que, cuando aparecen en el mundo natural, resultan sorprendentes y casi milagrosas; en realidad, la geometría es la matemática del espacio.
Y la posibilidad de que el espacio sea analizado bajo preceptos concretos es excepcional; sin duda sublime y, por ello, sagrada. 
Por otro lado, se remarca el carácter sagrado de la geometría, cuando uno asume que la manera en que se configuran las formas en el espacio no puede más que ser evidencia de que hay un orden o inteligencia superior que configura la existencia; en otras palabras, la geometría sagrada supone que −como dijo Platón, según Plutarco− “dios geometriza continuamente”.
- Así, la geometría sagrada definitivamente contiene un elemento espiritual y es un valioso intento por develar la “lógica del universo” y asociar las figuras presentes en el mundo a una dimensión distinta de su propia materialidad; otorgándoles una naturaleza simbólica.
- Platón fue uno de los primeros pensadores que jugó con estas posibilidades.
Pero, tal vez, uno de los máximos exponentes en la materia fue el astrónomo alemán Johannes Kepler, autor del libro Mysterium Cosmográfico, donde explica la proporción espacial que hay entre los seis planetas entonces conocidos. Antes de Kepler ya existía una teoría similar.
La “armonía de las esferas”, una noción pitagórica que explicaba que el universo está gobernado por proporciones armoniosas y que el movimiento de los planetas está regido por proporciones musicales; de tal manera que cada intervalo entre un planeta y otro, corresponde a una nota musical. Análogamente, hay una proporción similar en otros aspectos cruciales del universo.
O por lo menos así se ha pensado en Occidente. Para los renacentistas, el cuerpo humano era la mejor evidencia de esto y la máxima representación de esta creencia es El hombre de Vitruvio, el famoso dibujo de Leonardo Da Vinci inspirado en el arquitecto romano, Vitriviuos.
Así,entre hipótesis de antiguos griegos y renacentistas, los occidentales hemos forjado las nociones de equilibrio, proporción y belleza con la geometría sagrada en mente. El cuerpo bello es, entonces, aquel que cumple con la divina proporción. El espacio adecuado, se ordena armoniosamente. Y el arte más valorado replica la espiral sugerida en la famosa secuencia de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, y así sucesivamente).
Manifestaciones de geometría sagrada La geometría sagrada y las proporciones divinas se manifiestan en toda clase de espacios. Tal vez uno de los más icónicos es en la arquitectura; especialmente en los templos, iglesias y otros espacios de culto. 
En la arquitectura islámica, los diseños geométricos combinan círculos y cuadrados, formando complejos patrones simbólicos (como flores y estrellas) e hipnóticas teselaciones. En el hinduismo se tienen los Agamas, escrituras sánscritas que describen los métodos más apropiados de diseño de los sitios sagrados.
Las iglesias católicas también siguen esta tendencia: el círculo y la cruz son formas sagradas que definen los planos de los imponentes edificios; la regularidad y la simetría son esenciales. La duplicidad de los planos nos dice: así como arriba, abajo. La geometría sagrada sin duda es parte del patrimonio cultural de cada región.
Esto es evidente al admirar la arquitectura maya, siempre correlacionada con las matemáticas y la astronomía. Los patrones decorativos, la ubicación de los edificios y los planos en general vuelven al edificio el punto de encuentro entre naturaleza, arte y espiritualidad.
- El arte sacro también es otra de las dimensiones donde se vuelve vital la geometría sagrada.
- Un ejemplo icónico son los mandalas budistas.
- Por otro lado, podríamos afirmar que no hay cuadro renacentista que no resguarde asociaciones simbólicas, determinadas por un plano geométrico.
- La naturaleza, por su parte, es donde más fascinante se vuelve la aparición de patrones geométricos.
Hasta el más escéptico se pone a dudar al encontrar fractales en toda clase de hongos, plantas y hasta en el movimiento de algunos animales. El mismísimo Albert Einstein preguntó: “¿Cómo es posible que las matemáticas, producto del pensamiento humano, independiente de la experiencia, se ajusten excelentemente a los objetos de la realidad?”.
- Geometría sagrada, reflejo del cosmos interno Por otro lado, tal vez el aspecto verdaderamente sagrado de la geometría, es nuestra capacidad de hacerla presente; de encontrarla en el mundo que nos rodea.
- La noción de belleza, como ha sido demostrado por tradiciones más frescas —como el arte moderno y contemporáneo— no es universal y no solo una forma de organizar el mundo es válida.
Lo geométrico, lo simétrico y lo fractal, nos complacen porque nos remiten a lo proporcionado, regular y familiar; en otras palabras, al ideal de belleza occidental, forjado por Platón, perfeccionado en el renacentismo. Pero, en el mundo y al interior de uno mismo, existe la posibilidad de abrir los caminos de nuestra existencia y de reinventar los puntos de anclaje de los cuales partimos para medir la tierra.
¿Qué es una figura geométrica y su ejemplo?
¿Cuáles son las figuras geométricas básicas? – Las formas geométricas se pueden clasificar de diferentes maneras. La manera más práctica es recurrir a los conceptos fundamentales de punto, recta, plano y espacio, ya que de la combinación de ellos se pueden obtener todas las figuras geométricas.
- De esta manera se pueden clasificar según la cantidad de dimensiones que tienen.
- Las figuras geométricas son superficies delimitadas por líneas (curvas o rectas) o espacios delimitados por superficies.
- En el primer caso, se está haciendo referencia a polígonos, círculos, circunferencias o elipses, por ejemplo.
En el segundo caso, se habla de poliedros. Se puede destacar también la diferencia entre las líneas de curvas cerradas, que serían el círculo y la circunferencia, y las líneas poligonales cerradas, que son los polígonos.
¿Qué habilidades se desarrollan con la geometría?
Bressan (2013) considera que el desarrollo el estudio de la geometría comprende las siguientes habilidades: visuales, de dibujo y construcción, de comunicación, de razonamiento lógico/pensamiento y de aplicación o transferencia.
¿Cuáles son los 2 propositos de la geometría?
Objetivos específicos: – Descubrir las figuras geométricas a través de elementos cotidianos. -Desarrollar la orientación espacial.
¿Cuál es el uso de la geometría en la vida cotidiana?
¿Cómo se usa la Geometría en la vida cotidiana? ¿Cómo se usa la geometría en la vida cotidiana? Cuando estudias el tema, la ciencia de las líneas y los ángulos puede parecer nada más que un ejercicio aburrido de fórmulas y previsibilidad. En realidad, la geometría funciona a donde sea que vayas.
- Ya sea que lo sepan o no, la geometría literalmente da forma a nuestras vidas.
- Una ciencia antigua ¿Cuánto tiempo lleva la geometría? Para responder a esa pregunta, echemos un vistazo a dónde recibe su nombre la geometría.
- La geometría se deriva de las palabras griegas para Tierra (Geo) y medida (metria).
Fue puesto en práctica por los antiguos griegos y continúa siendo utilizado en todo el mundo hoy en día. Es la ciencia de medir formas, ángulos, áreas y distancias. Por la evidencia que dejaron los antiguos griegos en sus asombrosas ruinas, como el Partenón, es indudable que tenían un profundo conocimiento y comprensión de la ciencia de la geometría.
- Poniendo en práctica la geometría Si necesita un ejemplo de cómo la geometría te afecta a diario, no necesitas hacer nada más que echar un vistazo.
- ¿Que ves? Tal vez es un puente.
- ¿Te fijas en las vigas de acero debajo? Están dispuestos usando ángulos de geometría muy específicos para darle estabilidad al puente.
La geometría también determina la forma en que se construyó su casa, con ángulos y líneas que hacen que las paredes sean sólidas y permiten que el techo arroje agua y nieve. Quizás vea a algunas personas disparando al grupo. ¿Alguna vez se preguntó cómo los jugadores de la piscina medirán sus golpes? Usan ángulos geométricos para tratar de estimar cómo reaccionarán las bolas una vez que son golpeadas.
Si todo este pensamiento llega a ser demasiado, intenta beber una lata de refresco. ¿Alguna vez se preguntó cómo saben que una lata es exactamente 12 oz? Hay una fórmula geométrica que dictamina el tamaño de la lata para que contenga exactamente la cantidad correcta. La maquinaria que llenó la lata también se basa en fórmulas geométricas.
La gente usa principios similares cuando cocinan en casa. Los moldes para pastel y las ollas son todos tamaños específicos y estandarizados que no existirían si no tuviéramos geometría. Sin geometría, no podríamos construir cosas, fabricar cosas o practicar deportes con mucho éxito.
La geometría no solo hace las cosas posibles en la vida cotidiana, sino que también las hace más fáciles al proporcionarnos una ciencia exacta para calcular las medidas de formas, ángulos y áreas. Así que la próxima vez que traiga un bizcocho y refresco a sus amigos que juegan en el billar que viven justo al otro lado del puente, puede agradecerle a Geometry por reunirlo todo.
: ¿Cómo se usa la Geometría en la vida cotidiana?
¿Dónde se puede aplicar la geometría?
La naturaleza tiene un lenguaje geométrico. Estas leyes que se aplican en el arte, en la arquitectura, el diseño, en la ciencia, en la física, la música, las matemáticas, el color, los animales, en la geología, en el Feng Shui.
¿Qué temas se ven en geometría?
Geometría Analítica – En esta lección, podrás encontrar varios temas sobre la asignatura de Geometría analítica. Entre los temas abordados se encuentra: sistemas de referencia, cálculo de perímetros, punto medio, análisis de ecuaciones, extensión; también se explican las cónicas, la circunferencia, el elipse, la parábola e hipérbola, entre otros temas.
¿Qué temas se dan en geometría?
Temas sobre Geometría
| Temas básicos | Geometría euclidiana |
|---|---|
| Punto Recta Segmento Plano Hiperplano Figura geométrica Polígono Poliedro Sólidos platónicos Sólidos arquimedianos Sólido de Johnson | Geometría euclidiana Discreta Convexa Plana Sólida |
| Geometría diferencial | Geometría algebraica |
¿Qué fue lo que hizo Pitagoras?
Pitágoras Pitágoras. Nació cerca de 569 AC en Samos, Jonia, y murió cerca de 475 AC, Pitágoras de Samos es descrito frecuentemente como el primer matemático puro. Es una figura extremadamente importante en el desarrollo de las matemáticas, aunque es relativamente poco lo que se conoce de sus logros matemáticos.
- A diferencia de matemáticos griegos posteriores, de quienes al menos tenemos algunos de los libros que escribieron, de Pitágoras no tenemos ningún escrito.
- La sociedad que dirigió, semirreligiosa y semicientífica, seguía un código secreto, que ciertamente aún hoy hace de Pitágoras una figura misteriosa.
Tenemos detalles de la vida de Pitágoras gracias a biografías antiguas que hicieron uso de fuentes originales escritas por autores que le atribuyen poderes divinos, y cuyo propósito era presentarlo como una divinidad. Lo que aquí se presenta es un intento de recolectar las fuentes más confiables para reconstruir un relato de la vida de Pitágoras. 
Según Porfirio, el padre de Pitágoras fue Mnesarco, mientras que según Jámblico, su madre fue Pythais, nativa de Samos. Mnesarco era un mercader que vino de Tiro, Fenicia, y hay una historia que cuenta Porfirio acerca de que Mnesarco trajo granos a Samos cuando se había presentado una hambruna, y que con ese motivo se le reconoció otorgándole la ciudadanía de Samos.
- Cuando niño, Pitágoras pasó sus años tempranos en Samos, pero después viajó mucho con su padre.
- Hay relatos que cuentan que Mnesarco regresó a Tiro con Pitágoras y que ahí recibió instrucción de los caldeos y los sabios de Siria.
- Parece que también visitó Italia con su padre.
- Se sabe poco de la infancia de Pitágoras.
Todos los relatos acerca de su aspecto físico parecen ser ficticios salvo por la descripción de un asombroso nevo materno (lunar) que tenía Pitágoras en el muslo. Es probable que haya tenido dos hermanos, aunque algunas fuentes dicen que tuvo tres. Ciertamente recibió una muy buena instrucción, aprendiendo a tocar la lira, a hacer poesía y a recitar a Homero.
Entre sus maestros estaban tres filósofos que influyeron en Pitágoras durante su juventud. Uno de los más importantes fue Feréquides, a quien muchos describen como el maestro de Pitágoras. Los otros dos filósofos que influyeron en él y lo introdujeron al pensamiento matemático fueron Tales y su discípulo Anaximandro, quienes vivieron en Mileto.
Jámblico dice que Pitágoras visitó a Tales en Mileto, cuando tenía entre 18 y 20 años de edad. Para entonces Tales ya era un anciano, y aunque aún causó una fuerte impresión en Pitágoras, probablemente ya no le enseñó mucho. Sin embargo, contribuyó al interés de Pitágoras en las matemáticas y la astronomía, y le aconsejó viajar a Egipto para aprender más sobre estas disciplinas.
El discípulo de Tales, Anaximandro, enseñaba en Mileto y Pitágoras asistía a sus cursos. Anaximandro estaba ciertamente interesado en la geometría y la cosmología, y muchas de sus ideas tuvieron influencia en los conceptos de Pitágoras. Alrededor de 535 AC, Pitágoras fue a Egipto. Esto ocurrió unos cuantos años después de que el tirano Polícrates se apoderara del control de la ciudad de Samos.
Hay cierta evidencia para pensar que Pitágoras y Polícrates tuvieron una amistad al principio y se afirma que Pitágoras fue a Egipto llevando una carta de presentación de Polícrates. En efecto, Polícrates tenía una alianza con Egipto, por lo que había fuertes vínculos entre Samos y Egipto en esa época.
Los relatos acerca de la estancia de Pitágoras en Egipto sugieren que visitó muchos de los templos y tomó parte en muchas discusiones con los sacerdotes. Según Porfirio, filósofo neoplatónico nacido en Tiro, Pitágoras fue rechazado al intentar visitar los templos egipcios, con la excepción del de Dióspolis, donde sí fue aceptado para el sacerdocio después de completar los ritos necesarios para la admisión.
No es difícil relatar muchas de las creencias de Pitágoras, las que él impondría después en la sociedad que estableció en Italia a partir de las costumbres que aprendió en Egipto. Por ejemplo, la actitud secreta de los sacerdotes egipcios, su rechazo a ingerir leguminosas, incluso su rechazo a usar ropas hechas de pieles de animales y su aspiración por lograr la pureza eran todas costumbres que adoptaría Pitágoras posteriormente.
Porfirio dice que Pitágoras aprendió geometría de los egipcios, pero es probable que ya tuviera familiaridad con la geometría, ciertamente a partir de las enseñanzas de Tales y Anaximandro. En 525 AC, Cambises II, el rey de Persia, invadió Egipto. Polícrates abandonó su alianza con Egipto y envió 40 barcos a reunirse con la flota persa contra los egipcios.
Después de que Cambises había ganado la Batalla de Pelusio en el Delta del Nilo y de que había ocupado Heliópolis y Menfis, la resistencia egipcia cedió. Pitágoras fue hecho prisionero y llevado a Babilonia. Jámblico escribe sobre Pitágoras:, fue transportado por los seguidores de Cambises como prisionero de guerra.
Mientras estuvo ahí tuvo el gusto de asociarse con los Magoi. y fue instruido en sus ritos sagrados y aprendió acerca de una adoración muy mística de los dioses. También alcanzó la cúspide de la perfección en aritmética y música, y en las demás ciencias matemáticas enseñadas por los Babilonios. Alrededor de 520 AC, Pitágoras abandonó Babilonia y regresó a Samos.
Polícrates había sido asesinado alrededor de 522 AC y Cambises había muerto en el verano de ese año, ya sea por suicidio o por causa de un accidente. Las muertes de estos gobernantes pueden haber sido el factor para que Pitágoras regresara a Samos, pero en ningún lado se explica cómo obtuvo su libertad.
Darío de Persia había asumido el control de Samos después de la muerte de Polícrates y parece haber estado aun en control de la isla al regreso de Pitágoras. Esto entra en conflicto con los relatos de Porfirio y Diógenes Laercio, quienes afirman que Polícrates todavía estaba controlando Samos cuando Pitágoras regresó.
Pitágoras hizo un viaje a Creta poco después de su regreso a Samos para estudiar el sistema legal ahí. A su regreso a Samos fundó una escuela llamada el Semicírculo. En el tercer siglo DC, Jámblico escribe que:, formó una escuela en la ciudad, el ‘semicírculo’ de Pitágoras, conocido hasta hoy por ese nombre, en el cual los samios efectúan reuniones políticas.
- Lo hacen pues piensan que hay que discutir cuestiones sobre bondad, justicia y conveniencia en este lugar fundado por el hombre que hizo de todos estos temas su propio asunto.
- Fuera de la ciudad hizo de una cueva el sitio privado de su propia enseñanza filosófica, pasando casi toda la noche así como el día ahí para investigar la utilidad de las matemáticas.
Pitágoras abandonó Samos y se fue al sur de Italia cerca de 518 AC (algunos afirman que fue mucho antes). Jámblico da algunas razones para su salida de Samos. En primer lugar los comentarios sobre la respuesta de los samios a sus métodos de enseñanza:,
- Trataba de utilizar su método simbólico de enseñanza, que era semejante en todos sus aspectos a lo que él había aprendido en Egipto.
- Los samios no se sentían muy entusiastas por su método y lo trataban de una manera ruda e impropia.
- Esta excusa, de acuerdo con Jámblico, fue usada en parte por Pitágoras para dejar Samos:,
Pitágoras fue arrastrado a toda clase de misiones diplomáticas por sus conciudadanos y fue forzado a participar en asuntos públicos. Sabía que todos los filósofos que lo precedieron habían acabado sus días en tierras extranjeras, por lo que decidió huir de toda responsabilidad política, alegando como excusa, de acuerdo con algunas fuentes, el desprecio que los samios tenían por sus métodos de enseñanza.
Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotón (ahora Crotona, en el este del “tacón” del sur de Italia) que tenía muchos seguidores. Pitágoras era cabeza de la sociedad con un círculo interno de seguidores conocidos como los mathematikoi, Los mathematikoi vivían permanentemente con la Sociedad, no tenían propiedad personal y eran vegetarianos.
Recibían enseñanzas del propio Pitágoras y obedecían reglas estrictas. Las creencias de Pitágoras eran:
(1) que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática, (2) que la filosofía puede ser usada para la purificación espiritual, (3) que el alma puede elevarse para su unión con lo divino, (4) que ciertos símbolos tienen significado místico, y (5) que todos los hermanos de la orden deben observar estricta lealtad y guardar actitud secreta.
Tanto hombres como mujeres eran admitidos como miembros de la Sociedad; en efecto, varias de las mujeres pitagóricas se convirtieron después en filósofas famosas. El círculo exterior de la Sociedad era conocido como los “acusmáticos” (de “acústica” y “matemáticos”) y vivían en sus propias casas, y sólo venían a la Sociedad durante el día.
Podían tener propiedades privadas y no se les exigía que fueran vegetarianos. De la propia obra de Pitágoras no se sabe nada. Su escuela practicaba la actitud secreta y el comunalismo, lo que hacía difícil distinguir entre la obra de Pitágoras y la de sus seguidores. Ciertamente, su escuela hizo contribuciones extraordinarias a las matemáticas, y es posible tener bastante certeza acerca de algunas de las contribuciones matemáticas de Pitágoras.
Primero debe quedar claro en qué sentido Pitágoras y los mathematikoi estudiaban matemáticas. No actuaban como un grupo de investigación en matemáticas en una universidad u otra institución moderna. No había ‘problemas abiertos’ que tuvieran que resolver, y de ninguna manera estaban interesados en tratar de formular o resolver problemas matemáticos.
Más bien Pitágoras estaba interesado en los principios de las matemáticas, el concepto de número, el concepto de triángulo o de otras figuras matemáticas, y de la idea abstracta de demostración. Brumbaugh escribe: Es difícil para nosotros hoy, por más familiarizados que estemos con la abstracción matemática pura y con el acto mental de la generalización, apreciar la originalidad de esta contribución pitagórica.
De hecho, hoy en día somos tan sofisticados que incluso ya no reconocemos a 2 como una cantidad abstracta. Hay un paso notablemente grande entre 2 barcos + 2 barcos = 4 barcos y el resultado abstracto 2 + 2 = 4, que se aplica no solamente a barcos, sino a plumas, gente, casas, etc.
- Hay otro paso para ver que la noción abstracta de 2 es una cosa que, en cierto sentido, es tan real como un barco o una casa.
- Pitágoras creía que todas las relaciones podían reducirse a relaciones de números.
- Aristóteles escribió: Los Pitagóricos,
- Habiéndose formado dentro del estudio de las matemáticas, pensaban que las cosas eran números,
y que todo el cosmos es una escala y un número. Esta generalización provenía de las observaciones de Pitágoras en música, matemáticas y astronomía. Pitágoras observó que las cuerdas vibrantes producen tonos armoniosos cuando las razones de las longitudes de las cuerdas son números enteros, y que estas razones podían considrerase en otros instrumentos.
En efecto, Pitágoras hizo notables contribuciones a la teoría matemática de la música. Era un excelente músico, que tocaba la lira y usaba la música como medio para ayudar a los enfermos. Pitágoras estudiaba propiedades de los números que serían muy familiares para los matemáticos de hoy, tales como números pares e impares, números triangulares, números perfectos, etc.
Sin embargo, para Pitágoras los números tenían personalidades que difícilmente reconoceríamos como matemáticas hoy: Cada número tenía su propia personalidad – masculino o femenino, perfecto o incompleto, hermoso o feo. Las matemáticas modernas han eliminado deliberadamente este sentimiento, pero aún lo encontramos en la ficción y la poesía.
- Diez era el mejor número: contenía en sí mismo los primeros cuatro enteros –uno, dos, tres y cuatro – y escritos estos en notación de puntos formaban un triángulo perfecto.
- Por supuesto recordamos hoy a Pitágoras especialmente por su famoso teorema de geometría.
- Aunque el teorema, ahora conocido como el teorema de Pitágoras, ya lo conocían los babilonios 1000 años atrás, tal vez haya sido él quien por primera vez lo demostró.
Proclo, el último gran filósofo griego, que vivió alrededor de 450 AC escribió: Después Pitágoras transformó el estudio de la geometría en una educación liberal, examinando los principios de la ciencia desde su comienzo y probando los teoremas de una manera inmaterial e intelectual: él fue quien descubrió la teoría de los irracionales y la construcción de las figuras cósmicas.
Heath da una lista de teoremas atribuidos a Pitágoras, o más bien, a los pitagóricos. (i) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. También conocían los pitagóricos la generalización que establece que para un polígono con n lados la suma de sus ángulos interiores es 2 n – 4 ángulos rectos y la suma de sus ángulos exteriores es igual a cuatro ángulos rectos.
(ii) El teorema de Pitágoras –para un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Debemos notar que para Pitágoras el cuadrado de la hipotenusa ciertamente no debe ser considerado como el número multiplicado por sí mismo, sino más bien, como un cuadrado geométrico construido sobre el lado.
Decir que la suma de dos cuadrados es igual a un tercer cuadrado significaba que los dos cuadrados podían ser recortados en pedazos y rearmados para formar un cuadrado idéntico el tercero. (iii) Construir figuras de un área dada y álgebra geométrica. Por ejemplo resolvieron ecuaciones tales como a ( a – x ) = x 2 por medios geométricos.
(iv) El descubrimiento de los irracionales. Este se le atribuye ciertamente a los pitagóricos pero parece poco probable que se le deba al propio Pitágoras. Iba contra la filosofía de Pitágoras de que todas las cosas eran números, ya que por número entendía la razón entre dos números enteros.
- Sin embargo, debido a su creencia de que todas las cosas eran números sería una tarea natural tratar de probar que la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles tenía longitud correspondiente a un número.
- V) Los cinco sólidos regulares.
- Se piensa que el propio Pitágoras sabía cómo construir los primeros tres, pero es poco probable que haya sabido cómo construir los otros dos.
(vi) En astronomía Pitágoras, enseñaba que la Tierra era una esfera en el centro del Universo. También reconoció que la órbita de la Luna estaba inclinada con respecto al ecuador de la Tierra y fue uno de los primeros en darse cuenta de que Venus, como estrella de la tarde, era el mismo planeta que Venus, como estrella de la mañana.
En primera instancia, sin embargo, Pitágoras era filósofo. Además de sus creencias sobre los números, geometría y astronomía que ya hemos descrito, tenía:, las siguentes enseñanzas filosóficas y éticas:, la dependencia de la dinámica que tiene la estructura del mundo de la interacción de contrarios, o pares de opuestos; la visión del alma como un número con movimiento propio, que experimenta una forma de metempsicosis, o reencarnación sucesiva en diferentes especies hasta su final purificación ( particularmente a través de la vida intelectual de los pitagóricos éticamente rigurosos ) ; y el entendimiento.
de que todos los objetos existentes estaban fundamentalmente compuestos de forma y no de sustancia material. Además, la doctrina pitagórica. identificaba el cerebro como el lugar geométrico del alma; y prescribía ciertas prácticas de culto secretas. Brumbaugh también describe sus prácticas éticas: En sus prácticas éticas, los pitagóricos eran famosos por su mutua amistad, altruismo y honestidad.
- La Sociedad de Pitágoras en Crotón también fue afectada por los eventos políticos, a pesar de su deseo de mantenerse al margen de la política.
- Pitágoras fue a Delos en 513 AC a cuidar a su viejo maestro Feréquides que se estaba muriendo.
- Estuvo ahí unos cuantos meses hasta la muerte de su amigo y maestro y entonces retornó a Crotón.
En 510 AC Crotón atacó y venció a su vecina Sibaris y hubo ciertas sospechas de que Pitágoras estuviera involucrado en la disputa. Entonces, cerca de 508 AC, la Sociedad Pitagórica en Crotón fue atacada por Cilón, un noble de la propia Crotón. Pitágoras escapó a Metaponto y casi todos los autores afirman que ahí murió, y algunos dicen que se suicidó por el ataque a su Sociedad.
Jámblico cita una versión de lo ocurrido: Cilón, un crotoniata y ciudadano importante por nacimiento, fama y riqueza, pero por otro lado un hombre difícil, violento, molesto y con tendencias tiránicas, deseaba ansiosamente participar del modo de vida pitagórico. Se acercó a Pitágoras, que ya estaba viejo, pero fue rechazado por sus defectos de carácter descritos.
Cuando esto ocurrió, Cilón y sus amigos se unieron para hacer un fuerte ataque a Pitágoras y sus seguidores. Así, un celo fuerte y agresivo activó a Cilón y a sus seguidores a perseguir a los pitagóricos hasta que no quedara ninguno. Por esto, Pitágoras partió a Metaponto y se dice que ahí terminó sus días.
- Esto parece estar aceptado por la mayoría, pero Jámblico mismo no acepta esta versión y arguye que el ataque de Cilón fue una cuestión menor y que Pitágoras regresó a Crotón.
- Ciertamente, la Sociedad Pitagórica prosperó por muchos años después de estos sucesos y se extendió de Crotón a muchas otras ciudades italianas.
Gorman sostiene que ésta es una fuerte razón para creer que Pitágoras regresó a Crotón y cita otra evidencia, que es la edad de Pitágoras, ampliamente difundida, de alrededor de 100 años a su muerte, y el hecho de que muchas fuertes afirman que Pitágoras enseñó a Empédocles, para confirmar que murió años después del 480 AC.
- La evidencia de cuándo y donde murió Pitágoras es poco clara.
- Ciertamente, la Sociedad Pitagórica se expandió rápidamente después de 500 AC, se tornó de naturaleza política y se subdividió en un cierto número de facciones.
- En 460 AC la Sociedad:,fue suspendida violentamente.
- Sus casas de reunión fueron saqueadas y quemadas en todas partes; se hace mención, en particular, de “la casa de Milo” en Crotón, donde 50 o 60 pitagóricos fueron sorprendidos y asesinados.
Los que sobrevivieron se refugiaron en Tebas y en otros lugares. Basado en un artículo de J.J. O’Connor y E.F. Robertson : Pitágoras
¿Qué significa a en un conjunto?
REPASO DE ALGEBRA DE CONJUNTOS
- REPASO DE ALGEBRA DE CONJUNTOS
- V.Abraira
- Definiciones
- Dado un conjunto A=, la relación de pertenencia se representa por a Î A.
- Se llama cardinal del conjunto, y se representa car(A), al número de elementos que contiene.
Se llama conjunto vacío, y se representa por Æ, al conjunto que no contiene ningún elemento. No desespere, estamos de acuerdo en que si no contiene ningún elemento, no es un conjunto, sin embargo su definición como tal es muy útil.
- Se llama universo o conjunto universal, y se suele representar por H, al conjunto formado por todos los elementos que se están considerando.
- Dado un conjunto A, se llama complementario del mismo, y se representa por A c, al conjunto formado por los elementos del universo que no son de A.
- Dos conjuntos son iguales si están formados por los mismos elementos.
Se dice que B es subconjunto de A, y se representa B Ì A, si todos los elementos de B pertenecen a A. Se dice también que B está incluido en A.
- Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de ambos, y se representa A È B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B.
- Ejemplo 1 : A= B=
- A È B =
- Ejemplo 2 : C= D=
- C È D =
- Se llama intersección y se representa A Ç B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.
- Ejemplo 3 : para los conjuntos anteriores
- A Ç B = C Ç D =
- Si dos conjuntos no tienen elementos comunes, se llaman disjuntos y su intersección es el conjunto vacío. Si, para el ejemplo 2, en el universo que se está considerando no hay nadie que sea hipertenso y obeso C Ç D = Æ
- Al conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado se le denomina conjunto de las partes del conjunto o álgebra y se representa por P(A)
- Ejemplo: A =
- P(A) =,,,,,, }
- Propiedades
- Propiedades de la inclusión
- i) A Ì A
- ii) Æ Ì A
- iii) A Ì B Þ B Ë A ; sólo si A = B
- iv) A Ì B y B Ì D ==> A Ì D
- Propiedades de la unión e intersección
i) Identidad A È Æ = A A Ç H = A ii) Idempotencia A È A = A A Ç A = A iii) Commutatividad A È B = B È A A Ç B = B Ç A iv) Asociatividad (A È B) È D = A È (B È D) (A Ç B) Ç D = A Ç (B Ç D) v) Distributividad (A È B) Ç D = (A Ç D) È (B Ç D) (A Ç B) È D = (A È D) Ç (B È D) vi) Absorción A È (A Ç B) = A A Ç (A È B) = A vii) Complementaridad A È A c = H A Ç A c = Æ /li>
- Nota : A todo conjunto en el que se hayan definido dos operaciones que tengan estas propiedades, se le denomina Algebra de Boole.
- Función de conjunto : toda regla que de un modo perfectamente determinado haga corresponder un número real a cada elemento del conjunto. Se representa por
f: A ® Â
- el número x que le corresponde al elemento a, se representa por x=f(a)
- Se denomina imagen de la función al conjunto de números que están en correspondencia con algún elemento, a través de la función.
im f =
REPASO DE ALGEBRA DE CONJUNTOS
¿Qué significa la letra A en álgebra?
La letra ‘a’ representa una incógnita, es decir una variable de la que desconocemos su valor y que hay que calcular. El número que acompaña a la letra la va multiplicando.
¿Qué significa la palabra ángulos A?
Ángulo es un concepto de la Geometría para referirse al espacio comprendido entre la intersección de dos líneas que parten de un mismo punto o vértice, y que es medido en grados. La palabra proviene del latín angŭlus, y esta a su vez del griego ἀγκύλος, que significa ‘encorvado’.